（Ⅰ）证明：当x＞1时，2lnx＜x-1x；（Ⅱ）若不等式(1+at)ln(1+t)＞a对任意的正实数t恒成立，求正实数a的取值范围；（Ⅲ）求证：(910)19＜1e2．

Question

（Ⅰ）证明：当x＞1时，2lnx＜x-(1)/(x)；
（Ⅱ）若不等式(1+(a)/(t))ln(1+t)＞a对任意的正实数t恒成立，求正实数a的取值范围；
（Ⅲ）求证：((9)/(10))19＜(1)/(e2)．

Answer 1

（Ⅰ）证明：令函数f(x)＝2lnx−x+(1)/(x)，定义域是{x∈R|x＞1}，
由f′(x)＝(2)/(x)−1−(1)/(x2)＝(−(x−1)2)/(x2)≤0，可知函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，
故当x＞1时，f(x)＝2lnx−x+(1)/(x)＜f(1)＝0，即2lnx＜x−(1)/(x)．
（Ⅱ）由于t＞0，a＞0，故不等式(1+(a)/(t))ln(1+t)＞a可化为ln(1+t)＞(at)/(t+a)…（*）
问题转化为（*）式对任意的正实数t恒成立，
构造函数g(t)＝ln(1+t)−(at)/(t+a) (t＞0)，
则g′(t)＝(1)/(1+t)−(a2)/((t+a)2)＝(t[t−a(a−2)])/((1+t)(t+a)2)，
（1）当0＜a≤2时，由t＞0，a（a-2）≤0，则g'（t）≥0即g（t）在（0，+∞）上单调递增，
则g（t）＞g（0）=0，即不等式ln(1+t)＞(at)/(t+a)对任意的正实数t恒成立．
（2）当a＞2时，a（a-2）＞0
因此t∈（0，a（a-2）），g'（t）＜0，函数g（t）单调递减；
t∈（a（a-2），+∞），g'（t）＞0，函数g（t）单调递增，
故g(t)min＝g(a(a−2))＝2ln(a−1)−(a(a−2))/(a−1)，由a＞2，即a-1＞1，
令x=a-1＞1，由（Ⅰ）可知g(t)min＝2ln(a−1)−(a(a−2))/(a−1)＝2lnx−(x2−1)/(x)＝2lnx−(x−(1)/(x))＜0，不合题意．
综上可得，正实数a的取值范围是（0，2]．
（Ⅲ）证明：要证((9)/(10))19＜(1)/(e2)，即证19ln(9)/(10)＜−2lne⇔19ln(10)/(9)＞2⇔19ln(1+(1)/(9))＞2，
由（Ⅱ）的结论令a=2，有(1+(2)/(t))ln(1+t)＞2对t＞0恒成立，
取t＝(1)/(9)

作业帮用户 2017-09-18