如图，经过点C（0，-4）的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A（-2，0），B两点．（1）a0，b2-4ac0（填“>”或“<”）；（2）若该抛物线关于直线x=2对称，求抛物线的函数表达式；（3

Question

如图，经过点C（0，-4）的抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴相交于A（-2，0），B两点．

（1）a___0，b²-4ac___0（填“>”或“<”）；
（2）若该抛物线关于直线x=2对称，求抛物线的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，连接AC，E是抛物线上一动点，过点E作AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）a>0，b²-4ac>0；
（2）∵直线x=2是对称轴，A（-2，0），
∴B（6，0），
∵点C（0，-4），将A，B，C的坐标分别代入y=ax²+bx+c，
解得：a=(1)/(3)，b=-(4)/(3)，c=-4，
∴抛物线的函数表达式为y=(1)/(3)x²-(4)/(3)x-4；
（3）存在，理由为：
（i）假设存在点E使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形，
过点C作CE∥x轴，交抛物线于点E，过点E作EF∥AC，交x轴于点F，如图1所示，

则四边形ACEF即为满足条件的平行四边形，
∵抛物线y=(1)/(3)x²-(4)/(3)x-4关于直线x=2对称，
∴由抛物线的对称性可知，E点的横坐标为4，
又∵OC=4，
∴E的纵坐标为-4，
∴存在点E（4，-4）；
（ii）假设在抛物线上还存在点E′，使得以A，C，F′，E′为顶点所组成的四边形是
平行四边形，过点E′作E′F′∥AC交x轴于点F′，
则四边形ACF′E′即为满足条件的平行四边形，
∴AC=E′F′，AC∥E′F′，如图2，过点E′作E′G⊥x轴于点G，

∵AC∥E′F′，∴∠CAO=∠E′F′G，
又∵∠COA=∠E′GF′=90°，AC=E′F′，∴△CAO≌△E′F′G，
∴E′G=CO=4，∴点E′的纵坐标是4，
∴4=(1)/(3)x²-(4)/(3)x-4，
解得：x₁=2+2√(7)，x₂=2-2√(7)，
∴点E′的坐标为（2+2√(7)，4），同理可得点E″的坐标为（2-2√(7)，4）．