如图,求变上限积分的最大值和最小值

Question

如图,求变上限积分的最大值和最小值

Answer 1

最大最小值只需从驻点处的函数值与端点函数值比较就行了,本题的定义域是(-∞,+∞),因此需要计算x→∞时的极限,若该极限值是最大（或最小）,则函数无最大值（或最小值）.
f '(x)=(2-x²)e^(-x²)*2x=2x(2-x²)e^(-x²)
令f '(x)=0,得驻点为：x=0,x=±√2
f(0)=0
f(±√2)=∫ [0→2] (2-t)e^(-t) dt
=-∫ [0→2] (2-t) d(e^(-t))
=-(2-t)e^(-t)-∫ [0→2] e^(-t) dt
=-(2-t)e^(-t)+e^(-t) [0→2]
=e^(-2)+2-1
=1+e^(-2)
x→∞时,
∫ [0→+∞] (2-t)e^(-t) dt
=-(2-t)e^(-t)+e^(-t) [0→+∞]
=2-1
=1
x→∞时的极限值对最大值最小值无影响.
因此函数的最大值为f(±√2)=1+e^(-2),最小值为f(0)=0