定积分求摆线问题在摆线x=a(t-sint)y=a(1-cost)上求摆线第一拱成1:3的点的坐标

Question

定积分求摆线问题
在摆线x=a(t-sint) y=a(1-cost)上求摆线第一拱成1:3的点的坐标

Answer 1

首先求该摆线的弧微分：
ds=√(x'^2+y'^2) dt=√(a^2*(1-cost)^2+a^2*(sint)^2) dt=a√(1-2cost+(cost)^2+(sint)^2) dt
=a√(2-2cost) dt=2a*sin(t/2) dt
则摆线一拱的弧长为：[0,2π] 表示下限和上限,0下限,2π上限
s=∫ [0,2π] 2a*sin(t/2) dt=-4acos(t/2) [0,2π] =8a
因此若将其长度分为1：3,也就是2a与6a,设2a处对应的t值为t1,
则 2a=∫ [0,t1] 2a*sin(t/2) dt,即 1=∫ [0,t1] sin(t/2) dt,即 1=-2cos(t/2) [0,t1]
得 1= 2-2cos(t1/2),解得：cos(t1/2)=1/2,则 t1/2=π/3,因此 t1=2π/3
代入x,y的关系式,可解得x=a(2π/3-√3/2),y=a(1-(-1/2))=3a/2