设y=f(x)的反函数是x=ψ(y),且f(x)=∫1到2xe^(t方)dt+1,则ψ‘’（1）=求具体过程,还有ψ‘’指的是对Y导么,对Y导时是不是还要再进一步对X导,答案是-1/e方

Question

设y=f(x)的反函数是x=ψ(y),且f(x)=∫1到2x e^(t方)dt +1,则ψ‘’（1）=
求具体过程,还有ψ‘’指的是对Y导么,对Y导时是不是还要再进一步对X导,
答案是-1/e方

Answer 1

y = ƒ(x) x = ψ(y)
dx/dy = ψ'(y) = 1/(dy/dx) = 1/ƒ'(x)
d²x/dy² = ψ''(y) = d(dx/dy)/dy = d[1/(dy/dx)]/dy = [1/ƒ'(x)]' = - ƒ''(x)/[ƒ'(x)]²
ƒ(x) = ∫(1→2x) e^t² dt + 1
ƒ'(x) = 2 * e^(2x)² = 2e^(4x²)
ƒ''(x) = 2 * 8xe^(4x²) = 16xe^(4x²)
ψ''(y) = - [16xe^(4x²)]/[2e^(4x²)]²
= - [16xe^(4x²)]/[4e^(8x²)]
= - 4x/e^(4x²)