如图，正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF=45°，对角线BD交AE于点M，交AF于点N．若AB=22，BM=1，则MN的长为．

Question

如图，正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF=45°，对角线BD交AE于点M，交AF于点N．若AB=2 √(2)，BM=1，则MN的长为___．

Answer 1

如图，延长BC到G，使BG=DF连接AG，在AG截取AH=AN，连接MH、BH．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠4=∠5=45°，∠BAD=∠ADF=∠ABE=∠ABG=90°，
在RT△ABG和RT△ADF中，

AB=AD

∠ABG=∠ADF=90°

BG=DF

，
∴RT△ABG≌RT△ADF（SAS），
∴∠1=∠2，∠7=∠G，AF=AG，
∴∠GAE=∠2+∠3=∠1+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°=∠EAF，
在△AMN和△AMH中，

AN=AH

∠MAN=∠MAH=45°

AM=AM

，
∴△AMN≌△AMH（SAS），
∴MN=MH，
∵AF=AG，AN=AH，
∴FN=AF-AN=AG-AH=GH，
在△DFN和△BFH中，

DF=BG

∠7=∠G

FN=GH

，
∴△DFN≌△BGH（SAS），
∴∠6=∠4=45°，DN=BH，
∴∠MBH=∠ABH+∠5=∠ANG-∠6+∠5=90°-45°+45°=90°
∴BM²+DN²=BM²+BH²=MH²=MN²，
∵BD=√(2)AB=4，
∴1²+（4-1-MN）²=MN²，
∴MN=(5)/(3)，
故答案为：(5)/(3)．