如图，正方形ABCD的边长为5，连接BD，在线段CD上取一点E，在线段BD上取点F，使得∠BEC=∠DEF，当S△DEF=13S△EFB时，在线段BC上有一点G，使FG+EG最短，则CG=．

Question

如图，正方形ABCD的边长为5，连接BD，在线段CD上取一点E，在线段BD上取点F，使得∠BEC=∠DEF，当S_△DEF= (1)/(3)S_△EFB时，在线段BC上有一点G，使FG+EG最短，则CG=___．

Answer 1

如图，延长EC至N，使CN=CE，连接FN交BC于G，此时的点G就是使FG+EG最短，
∵S_△DEF=(1)/(3)S_△EFB，
∴(DF)/(BF)=(1)/(3)，
∴(DF)/(DB)=(1)/(4)，
过点F作FM⊥CD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，
∴FM∥BC，
∴(FM)/(BC)=(DM)/(DC)=(DF)/(DB)，
∵BC=CD=5，
∴(FM)/(5)=(DM)/(5)=(1)/(4)，
∴FM=DM=(5)/(4)，
∵∠BEC=∠DEF，∠EMF=∠ECB=90°，
∴△EMF∽△ECB，
∴(EM)/(EC)=(FM)/(BC)=((5)/(4))/(5)，
∴EC=4EM，
∵EM+EC+DM=5，
∴EM=(3)/(4)，EC=3，
∴CN=CE=3，MN=CN+CE+ME=3+3+(3)/(4)=(27)/(4)，
∵CG∥FM，
∴(CG)/(FM)=(CN)/(MN)，
∴(CG)/((5)/(4))=(3)/((27)/(4))，
∴CG=(5)/(9)，
故答案为：(5)/(9)．