下暴雨时，有时会发生山体滑坡或泥石流等地质灾害．某地有一倾角为θ=37°（sin37°=35）的山坡C，上面有一质量为m的石板B，其上下表面与斜坡平行；B上有一碎石堆A（含有大量泥土），A和B

Question

下暴雨时，有时会发生山体滑坡或泥石流等地质灾害．某地有一倾角为θ=37°（sin37°=(3)/(5)）的山坡C，上面有一质量为m的石板B，其上下表面与斜坡平行；B上有一碎石堆A（含有大量泥土），A和B均处于静止状态，如图所示．假设某次暴雨中，A浸透雨水后总质量也为m（可视为质量不变的滑块），在极短时间内，A、B间的动摩擦因数μ₁减小为(3)/(8)，B、C间的动摩擦因数μ₂减小为0.5，A、B开始运动，此时刻为计时起点；在第2s末，B的上表面突然变为光滑，μ₂保持不变．已知A开始运动时，A离B下边缘的距离l=27m，C足够长，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．取重力加速度大小g=10m/s²．求：

（1）在0～2s时间内A和B加速度的大小
（2）A在B上总的运动时间．

Answer 1

（1）在0～2s时间内，A和B的受力如图所示，

其中f₁、N₁是A与B之间的摩擦力和正压力的大小，f₂、N₂是B与C之间的摩擦力和正压力的大小，方向如图所示．
由滑动摩擦力公式和力的平衡条件得
f₁=μ₁N₁ ①
N₁=mgcosθ      ②
f₂=μ₂N₂ ③
N₂=N₁+mgcosθ    ④
规定沿斜面向下为正，设A和B的加速度分别为a₁和a₂，
由牛顿第二定律得
mgsinθ-f₁=ma₁ ⑤
mgsinθ+f₁-f₂=ma₂ ⑥
联立①②③④⑤⑥式，并代入题给的条件得
a₁=3m/s² ⑦
a₂=1m/s²⑧
（2）在t₁=2s时，设A和B的速度分别为v₁和v₂，则
v₁=a₁t₁=6m/s    ⑨
v₂=a₂t₁=2m/s    ⑩
t>t₁时，设A和B的加速度分别为a₁′和a₂′，此时A与B之间摩擦力为零，同理可得
a₁′=6m/s²⑪
a₂′=-2m/s²⑫
即B做减速运动．
设经过时间t₂，B的速度减为零，则有
v₂+a₂′t₂=0⑬
联立⑩⑫⑬式得
t₂=1s
在t₁+t₂时间内，A相对于B运动的距离为
s=((1)/(2)a1

t

2 1

+v1t2+(1)/(2)

a

′ 1

t

2 2

)-((1)/(2)a2

t

2 1

+v2t2+(1)/(2)

a

′ 2

t

2 2

) 
=12m<27m
此后B静止不动，A继续在B上滑动．
设再经过时间t₃后A离开B，则有
l-s=(v1+

a

′ 1

t2)t3+(1)/(2)

a

′ 1

t

2 3

可得
t₃=1s（另一解不合题意，舍去）
设A在B上总的运动时间为t_总，有
t_总=t₁+t₂+t₃=4s
（利用下面的速度图线求解也可）

答：（1）在0～2s时间内A和B加速度的大小分别为3m/s²和1m/s²；
（2）A在B上总的运动时间为4s．