已知抛物线y2=6x，过点P（4，1）引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|．

Question

已知抛物线y²=6x，过点P（4，1）引一条弦P₁P₂使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P₁P₂|．

Answer 1

设直线上任意一点坐标为（x，y），弦两端点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）．
∵P₁，P₂在抛物线上，∴y

2

1

=6x₁，y

2

2

=6x₂．
两式相减，得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=6（x₁-x₂）．
∵y₁+y₂=2，∴k=(6)/(y1+y2)=3．
∴直线的方程为y-1=3（x-4），即3x-y-11=0．
代入抛物线方程得y²-2y-22=0，∴y₁+y₂=2，y₁•y₂=-22．
∴|P₁P₂|=√(1+(1)/(9))•√(4+88)=(2√(230))/(3)．