设ψ(x)、φ(x)、f(x)都为单调增加函数,且对一切实数x均有ψ(x)≤φ(x)≤f(x),求证ψ[ψ(x)]≤φ[φ(x)]≤f[f(x)]

Question

设ψ(x)、φ(x)、f(x)都为单调增加函数,且对一切实数x均有ψ(x)≤φ(x)≤f(x),求证ψ[ψ(x)]≤φ[φ(x)]≤f[f(x)]

Answer 1

首先证明φ[φ(x)] ≤ f[f(x)]

已知任给一个x,均有φ(x) ≤ f(x),不妨取一个依赖于x的常数C,有φ(x) ≤ C ≤ f(x)
因为φ(x)≤C,根据φ(x)为单调增函数,必有：
φ[φ(x)] ≤ φ(C)
同理,因为C ≤ f(x),根据f(x)为单调增函数,必有：
f(C) ≤ f[f(x)]
又因为任给一个x,均有φ(x) ≤ f(x),若x取为C必然有：
φ(C) ≤ f(C)
联立以上三式,可以得到：
φ[φ(x)] ≤ φ(C) ≤ f[f(x)]
从而证得φ[φ(x)] ≤ f[f(x)]
ψ[ψ(x)] ≤ φ[φ(x)]同理可证
证毕□