平抛运动中路程怎么求路程,即抛物线长度,不是位移

Question

平抛运动中路程怎么求
路程,即抛物线长度,不是位移

Answer 1

路程要用线积分了
平抛运动可以分解为两个分运动：水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动.于是有x=vt,h=0.5gt?,其中v是水平速度（等于初速度）大小,t是运动过程的时间间隔,x是这段时间内的水平射程,h是下落距离,g是重力加速度.x、h也分别是平抛运动中水平和竖直方向的位移大小.
可以这样计算路程：以抛出点为原点,建立平面直角坐标系,则物体运动轨迹是以y轴为对称轴的抛物线的一般,可以得到轨迹方程y=-h=-0.5gx?/v?,所以轨迹长l
=∫(0,vt)(1＋(y')^2)^0.5dx
=∫(0,vt)(1＋(-gx/v?)^0.5d(vt)
=v∫(0,v0t)(1＋g?/v^4*t?)^0.5dt
=0.5x(1+g?/v^4)^0.5-(v?/2g)ln(gx/v?+(1+g?/v^4)^0.5).
如果问的是位移的大小,由水平和竖直方向运动互相垂直,根据平行四边形法则（这里变成矩形了）及勾股定理,满足s?=x?+h?.所以可以这样求：
s=(x?+h?)^0.5=((vt)?+(0.5gt?)^0.5