库立奇大上定理怎样证明就是四边形九点圆的那个

Question

库立奇大上定理怎样证明
就是四边形九点圆的那个

Answer 1

圆周上的5点,过任4点做九点圆圆心,这些点在同一个圆上,叫五边形的九点圆,同理有六,七……n边形的九点圆
把圆周看作复平面上的单位圆
|z₁|=|z₂|=|z₃|=|z₄|=1
△z₂z₃z₄的九点圆圆心为1/2（z₂+z₃+z₄）……欧拉定理
同理有1/2（z₁+z₃+z₄）
1/2（z₁+z₂+z₄）
1/2（z₁+z₂+z₃）
|1/2(z₁+z₂+z₃+z₄)-1/2（z₂+z₃+z₄）|=|z₁/2|=1/2
|1/2(z₁+z₂+z₃+z₄)-1/2（z₁+z₃+z₄）|=|z₂/2|=1/2
|1/2(z₁+z₂+z₃+z₄)-1/2（z₁+z₂+z₄）|=|z₃/2|=1/2
|1/2(z₁+z₂+z₃+z₄)-1/2（z₁+z₂+z₃）|=|z₄/2|=1/2
于是△z₂z₃z₄,△z₁z₃z₄,△z₂z₁z₄,△z₂z₃z₁的九点圆圆心到点1/2(z₁+z₂+z₃+z₄)的距离都是1/2,即四边形的九点圆是以1/2(z₁+z₂+z₃+z₄)为圆心的圆
四个垂心组也是共圆的,圆心是z₁+z₂+z₃+z₄