求一个函数的极限（a^x+b^x+c^x/3）^1/x在x趋向于无穷大时的极限忘了，a>0,b>0,c>0

Question

求一个函数的极限
（a^x+b^x+c^x /3）^1/x 在x趋向于无穷大时的极限
忘了，a>0 ,b>0,c>0

Answer 1

应该是x→0吧
取对数：ln[(a^x+b^x+c^x)/3]/x＝ln[1＋(a^x+b^x+c^x-3)/3]/x,分子等价于(a^x+b^x+c^x-3)/3,所以极限化为(a^x+b^x+c^x-3)/3x
(a^x+b^x+c^x-3)/3x＝1/3×[(a^x-1)/x＋(b^x-1)/x＋(c^x-1)/x]
(a^x-1)/x的极限用洛必达法则也好,用等价无穷小也可以,结果是lna,所以ln[(a^x+b^x+c^x)/3]/x的结果是1/3×ln(abc)
所以,[(a^x+b^x+c^x)/3]^(1/x)的极限是(abc)^(1/3)