证明定理“三角形的任意两边之和大于第三边”（用勾股定理证,并在每步后写出理由）

Question

证明定理“三角形的任意两边之和大于第三边”（用勾股定理证,并在每步后写出理由）

Answer 1

证明：假设构成三角形的三条边分别为：a、b、c,且a、b、c大小任意；①先证明：a+b＞c；因为a、b、c都为正数,所以要使得a+b＞c成立,只需证明（a+b）²＞c²,即：（a+b）²-c²＞0；根据余弦定理：cosC=（a²+b²-c²）/2ab=（（a+b）²-c²-2ab）/2ab；移项得：（a+b）²-c²=2ab（2+cosB）；对于等式的右边：cosB在角B取值范围内的值为（-1,1）；所以1＜（2+cosB）＜2；又因为a、b都是正数；所以2ab（2+cosB）＞0,即（a+b）²-c²＞0,即a+b＞c；②对于a+c＞b和b+c＞a的情况证明是类似的；综上所述,证得：三角形的任意两边之和大于第三边.