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设函数f(x)在[0,+∞)上连续、单调不减且f(0)≥0.试证函数F(x)=1x∫x0tnf(t)dt,若x>00,若x=0,在[0,+∞)上连续且单调不减(其中n>0).

题目详情
设函数f(x)在[0,+∞)上连续、单调不减且f(0)≥0.试证函数F(x)=
1
x
x
0
tnf(t)dt,若x>0
0,若x=0
,在[0,+∞)上连续且单调不减(其中n>0).
▼优质解答
答案和解析
证明:显然当x>0时,F(x)连续,又
lim
x→0+
F(x)=
lim
x→0+
x
0
tnf(t)dt
x

=
lim
x→0+
xnf(x)(洛必达法则)
=F(0)
所以:函数F(x)在[0,+∞]上连续.
当x∈[0,+∞]时:
F'(x)=(
x
0
tnf(t)dt
x
)'
=
xn+1f(x)−
x
0
tnf(t)dt
x2

又因为,由微分中值定理有:
x
0
tnf(t)dt=ζnf(ζ)x  ζ∈(0,x)
因此:F'(x)=
xn+1f(x)−
x
0
tnf(t)dt
x2

=
xn+1f(x)−ζnf(ζ)x
x2

=
xnf(x)−ζnf(ζ)
x

=
xnf(x)−xnf(ζ)+xnf(ζ)−ζnf(ζ)
x

=
xn[f(x)−f(ζ)]+f(ζ)(xn−ζn)
x

因为:ζ∈(0,x),所以:xnn>0;
又:f(x)单调不减,且f(x)≥f(ζ)≥f(0)≥0
因此:f(x)-f(ζ)≥0;
所以有:当x∈[0,+∞]时,
F'(x)=
xn[f(x)−f(ζ)]+f(ζ)(xn−ζn)
x
≥0
因此,F(x)在x∈[0,+∞]上单调不减.
命题得证.