原题是这样的.设f(x)定义在R,是R上的连续函数且对任意x,y属于R都满足f((x+y)/2)=[f(x)+f(y)]/2求证：f(x)=[f(1)-f(o)]x+f(0).#我首先证明了#式对所有有理数成立,但是证不了对所有有理数成立但要是有f(

Question

原题是这样的.设f(x)定义在R,是R上的连续函数 且对任意x,y属于R 都满足f((x+y)/2)=[f(x)+f(y)]/2
求证：f(x)=[f(1)-f(o)]x+f(0).#
我首先证明了#式对所有有理数成立,但是证不了对所有有理数成立
但要是有f((x1+x2+...+xn)/n)=[f(x1)+f(x2)+...+f(Xn)]/n .$ 对所有n>=2 以及任意n个数都成立的话 我就可以证明对所有有理数成立#的
我觉得$式 是成立的 但是我用数学归纳法证不出来.我受书上的启发 ,我看能不能先证明对任意λ属于(o,1)以及任意x,y都有
f(λx+(1-λ)y)=λf(x)+(1-λ)f(y) 这个要是成立 那么就可以轻易地用数归证明n个数的加权等式 f(λ1x1+λ2x2+...+λnxn)=λ1f(x1)+λ2f(x2)+.+λnf(xn) .*
其中λ1+λ2+λ3+...λn=1
问题是要证明f(λx+(1-λ)y)=λf(x)+(1-λ)f(y) 因为λx+(1-λ)y是x,y之间的点.所以我想用闭区间套定理 二分法,凝聚到λx+(1-λ)y这个点 再利用连续性就可以证明f(λx+(1-λ)y)=λf(x)+(1-λ)f(y) 我这个想法很直观 但我写不出来因为太难表达.另外 我觉得直接用数学归纳法是可以证明$式的、、、而且这个不需要用连续的条件.但是我证明不出来.
因此我的问题就是
(1)在f(x)连续的条件下 如何证明对任意λ属于(o,1)以及任意x,y都有
f(λx+(1-λ)y)=λf(x)+(1-λ)f(y)
(2)不用连续性条件,是否可以证明f((x1+x2+...+xn)/n)=[f(x1)+f(x2)+...+f(Xn)]/n
(3)原题的结论 是否有别的思路去证明 也就是跳开证明(1)或者(2)的
上面有点小口误.那句话改成：
“我首先证明了#式对所有整数成立,但是证不了对所有有理数成立”

Answer 1

三楼的方法已经足以帮助你完成证明,不过这个问题有很多值得一提的东西,所以我随便给你写点.
(a) 从你的叙述来看,想必你知道如何按照Cauchy提出的方法（自然数->整数->有理数->实数）逐步求g(x)+g(y)=g(x+y)的连续解.
既然如此,首先应该设法将新问题转化到已解决的问题,这里应该先令g(x)=f(x)-f(0)
那么易得g(2x)=g(x),再得到g(x+y)=g(x)+g(y).
(b) 对于你的问题(2),把f转化到g之后就可以直接用归纳法得到你想要的结论,这和三楼的方法本质上一样,只是结论更广泛.
(c) 不要太过拘泥于Cauchy原来的方法,比如说你已经证明了整数集上f(x)的形式,有些时候讨论f(2x)和f(x)的关系要比直接讨论有理数容易得多,在这种情况下只需要证明f(x)在所有二进制有限小数上的性质（即所有m/2^k型的有理数）,再结合连续性或单调性仍然可以直接延拓到实轴,没有必要很教条地去讨论有理数.
(d) 你的问题(1)和原问题难度相当,因为完全等价,并且和证明Cauchy方程的连续解必定是线性函数也等价,所以一定是需要某些相对复杂或很有技巧的方法才能实现,我后面会给你一种方法.
(e) 与问题(1)相关的还有两个结论,你可以拿去作为练习
1. R^n上的凸函数必定连续.
2. 若f定义在R^n上,既是凸函数又是凹函数,那么f必定是仿射函数（即f(x)-f(0)是线性函数）.
(f) Cauchy函数方程连续解的求法有很多,事实上只需要“f稍微有那么点比较连续的性质”（比如说任何局部的单调性、可积性、Lebesgue可测性等）就可以证明f是线性函数.
举个例子来说,假定g连续且满足Cauchy函数方程,那么
\int_[x,x+1] g(y) dy = \int_[0,1] g(y) dy + g(x)
所以g(x)可导（因为左端可导）.再对给定的y,对g(x+y)=g(x)+g(y)求导得
g'(x+y)=g'(x)
于是g''(x)=0.
当然还有很多别的方法,你有兴趣自己去看相关文献,不过在此之前先得把数学分析的基础打打扎实.