两个方程组同解当且仅当它们的增广矩阵的行向量组等价,怎么证得呢?

Question

两个方程组同解 当且仅当它们的增广矩阵的行向量组等价,怎么证得呢?

Answer 1

本题应该是要求两个方程有解（主要是前推后做不到,后退前无需有解）,在有解的前提下.可以有你的结论.

Ax=a和Bx=b同解
记(C,c)=((A,a)^T,(B,b)^T)^T
则Cx=c与Ax=a同解,
故且他们系数矩阵的秩以及增广矩阵的秩（因为有解,系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩）相同.
故r((A,a)^T,(B,b)^T)^T)=r(A,a)
故(A,a)的行向量可以线性表示(B,b)的行向量,
同理故(B,b)的行向量可以线性表示(A,a)的行向量,故他们的行向量等价.

若(A,a)的行向量与(B,b)的行向量等价.
不妨设(A,a)有n行,而(B,b)有m行,且n>=m
那么在(B,b)下面补n-m行,这n-m行中所有元素均为0.
即另(C,c)=
B,b
0,0
(C,c)有n行,此时,显然(C,c)的行向量与(B,b)的行向量等价,又因为(A,a)的行向量与(B,b)的行向量等价.故(A,a)的行向量与(C,c)的行向量等价.
那么存在一个可逆矩阵D有(A,a)=D(C,c)
故Cx=c可以经过初等变换得到Ax=a,故于Ax=a同解
显然Cx=c也是与Bx=b同解的.
故Ax=a和Bx=b同解