如图，已知△ABC的周长为a，连接△ABC三边中点构成第二个三角形，再顺次连接第二个三角形各边中点构成第三个三角形，依此类推．（1）求第3个三角形的周长；（2）求第n个三角形的周长

Question

如图，已知△ABC的周长为a，连接△ABC三边中点构成第二个三角形，再顺次连接第二个三角形各边中点构成第三个三角形，依此类推．
（1）求第3个三角形的周长；
（2）求第n个三角形的周长；
（3）求第2008个三角形的周长与第2007个三角形周长的比．

Answer 1

（1）由△ABC的周长为a，
连接△ABC三边中点构成第二个三角形为A₁B₁C₁，
它的周长是△ABC的周长的(1)/(2)，
由△A₁B₁C₁∽△ABC得(△A1B1C1)/(△ABC)=(1)/(2)，
则第三个三角形的周长是由A₁B₁C₁的(1)/(2)，
即为△ABC的周长(1)/(4)，
所以第3个三角形的周长为(1)/(4)a；

（2）由（1）知．则第三个三角形它的周长是△ABC的周长的(1)/(4)，
依此类推，第n个三角形的周长为(a)/(2n−1)；

（3）第2008个三角形的周长为(a)/(22008−1)=(a)/(22007)，
第2007个三角形周长的为(a)/(22007−1)=(a)/(22006)，
则二者之比为(1)/(2)．
答：（1）第3个三角形的周长为(1)/(4)a；
（2）第n个三角形的周长为(a)/(2n−1)；
（3）第2008个三角形的周长与第2007个三角形周长的比为(1)/(2)．