在L~p空间中,为什么依范数收敛推不出几乎处处收敛?

Question

在L~p空间中,为什么依范数收敛推不出几乎处处收敛?

Answer 1

考虑[0,1]区间上的函数.
构造子区间 A(n,i)=[(i-1)/n, i/n], i=1,2,...,n; n 为正整数.
定义函数 f_n_i(x)=1 如果x属于A(n,i), 否则 f_n_i(x)=0.
定义 函数序列：
f_1_1, f_2_1, f_2_2,., f_n_1, f_n_2,...,f_n_n, .
此序列依范数收敛,因为|A(n,i)|=1/n ----> 0,
但此函数序列在[0,1]上无点收敛.