二次函数y=ax2+ax+2（a＞0）在R上的最小值为f（a）（1）写出函数f（a）的解析式；（2）用定义证明函数f（a）的奇偶性；（3）判断f（a）在[1，5]上的单调性，并加以证明．

Question

二次函数y=ax²+ax+2（a＞0）在R上的最小值为f（a）
（1）写出函数f（a）的解析式；
（2）用定义证明函数f（a）的奇偶性；
（3）判断f（a）在[1，5]上的单调性，并加以证明．

Answer 1

（1）y=ax²+ax+2=a(x+(1)/(2))2+2−(1)/(4)a，
又a＞0，∴x=-(1)/(2)时，y=ax²+ax+2取得最小值，f（a）=2-(1)/(4)a，
故f（a）=2-(1)/(4)a（a＞0）；
（2）由（1）知，f（a）=2-(1)/(4)a（a＞0），
∵f（a）的定义域为（0，+∞），不关于原点对称，
∴f（a）为非奇非偶函数；
（3）f（a）在[1，5]上单调递减，证明如下：
设任意正数a₁，a₂，且a₁＜a₂，
f（a₁）-f（a₂）=（2-(1)/(4)a1）-（2-(1)/(4)a2）=(1)/(4)(a2−a1)，
∵0＜a₁＜a₂，∴(1)/(4)(a2−a1)＞0，
∴f（a₁）-f（a₂）＞0，即f（a₁）＞f（a₂），
∴f（a）在[1，5]上单调递减．