证明奇数次实系数多项式一定有实根!

Question

证明奇数次实系数多项式一定有实根!

Answer 1

证明：因为奇数次实系数多项式形如：
a(2n-1)x^(2n-1)+a(2n-2)x^(2n-2)+……+a2x^2+a1x+a0=0
其中最高次项系数a(2n-1)≠0
令f(x)=a(2n-1)x^(2n-1)+a(2n-2)x^(2n-2)+……+a2x^2+a1x+a0
如果a(2n-1)>0,则当x->+∞时,f(x)->+∞；
当x->-∞时,f(x)->-∞.
因f(x)在x∈R上连续,根据中值定理,必有一实根x0满足f(x0)=0.
如果a(2n-1)<0,则当x->+∞时,f(x)->-∞；
当x->-∞时,f(x)->+∞.
因f(x)在x∈R上连续,根据中值定理,必有一实根x0满足f(x0)=0.
故奇数次实系数多项式一定有实根.