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设二维随机变量(X,Y)在单位圆内服从均匀分布,试问X,Y是否独立
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设二维随机变量(X,Y)在单位圆内服从均匀分布,试问X,Y是否独立
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答案和解析
由题意知:X^2+Y^2=1,所以可设:X=cosθ,Y=sinθ,θ为[-π,π]上均匀分布的随机变量.E(X)=(1/2π)∫(-π→π)cosθdθ=0; E(Y)=(1/2π)∫(-π→π)sinθdθ=0; E(X^2)=(1/2π)∫(-π→π)(cosθ)^2dθ=1/2; E(Y^2)=(1/2π)∫(-π→π)(sinθ)^2dθ=1/2; D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=1/2; D(Y)=E(Y^2)-[E(Y)]^2=1/2; E(XY)=(1/2π)∫(-π→π)cosθsinθdθ=0; 协方差Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0; 所以,相关系数ρXY=Cov(X,Y)/[(√D(X))(√D(Y))]=0;所以X、Y不相关; 另外,显然有P{0<X<1/2}≠0,P{0<Y<1/2}≠0,所以:P{0<X<1/2}P{0<Y<1/2}≠0,但是,0<X<1/2和0<Y<1/2同时发生的概率为零,即:P{0<X<1/2,0<Y<1/2}=0,所以P{0<X<1/2,0<Y<1/2}≠P{0<X<1/2}P{0<Y<1/2},所以X、Y不独立.
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