急,求解一道导数题设x=φ(y)是y=f(x)的反函数,试问如何由f',f'',f'''算出φ'''(y)?就是用f',f'',f'''表示φ'''(y)

Question

急,求解一道导数题
设x=φ(y)是y=f(x)的反函数,试问如何由f',f'',f'''算出φ'''(y)?
就是用f',f'',f'''表示φ'''(y)

Answer 1

这个引理还是要用的
φ'(y）=1/f'
证明如下：
y=f(x)
dy/dx=df(x)/dx=f'
x=φ(y)
dx/dy=dφ(y)/dy=φ'(y)
得证.
φ'''(y)
=dφ''(y)/dy
求dφ''(y)
φ'(y）=1/f'
φ''(y)=dφ'(y)/dy
=d(1/f')/dy
=(-f''/f'^2)dx/dy
=(-f''/f'^2)/f'
=(-f''/f'^3)
(d(1/f')=(-f''/f'^2)dx,主要是这个,譬如说f(y)=2x,则,df(y)=2dx)
所以dφ''(y)
=d(-f''/f'^3)
=[（3f''-f'''f'）/(f'(x))^5]dy
所以φ'''(y)
=dφ''(y)/dy
=（3f''-f'''f'）/(f'(x))^5