如何证明Limit(x->0)Sinx/x=1

Question

如何证明Limit(x->0)Sinx/x=1

Answer 1

sinx可以用多项式级数展开：
sinx=x-(x^3)/3!+(x^5)/5!-(x^7)/7!+...
将其带入：
=lim（x->0）1-(x^2)/3!+(x^4)/5!-(x^6)/7!+...
=1-0+0-0+0...
=1
或者你可以通过作图想象的方法
画一个单位圆,圆心在O,半径为1.这个圆交x轴正半轴于A.
在从原点O向第一象限画一条射线,射线与x轴正向夹角是t（单位是国际单位弧度）,射线与单位圆交于B.
过B做垂线BC垂直x轴于C.
接下来：
t就是弧长AB的长度 （因为弧长=半径*圆心角=1*t=t）
sint就是线段BC的长度 （因为BC/OB=BC/1=sint）
你想象一下,当t逐渐变小的时候,弧长AB和线段BC是不是几乎一样长呢!
当然是!
所以lim(t->0)sint/t=1