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已知,AC和BD为⊙O的两条弦,并且AB2+CD2=4R2,其中R为⊙O的半径.求证:AC⊥BD.
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已知,AC和BD为⊙O的两条弦,并且AB2+CD2=4R2,其中R为⊙O的半径.求证:AC⊥BD.
▼优质解答
答案和解析
证明:作直径AE,连BE,CE,如图,
∴∠ABE=90°,
∴AB2+BE2=AE2=4R2,
又∵AB2+CD2=4R2,
∴BE=CD,
∴弧BE=弧CD,
∴BD∥EC,
而∠ECA=90°,
∴AC⊥BD.
∴∠ABE=90°,
∴AB2+BE2=AE2=4R2,
又∵AB2+CD2=4R2,
∴BE=CD,
∴弧BE=弧CD,
∴BD∥EC,
而∠ECA=90°,
∴AC⊥BD.
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