半径为2的圆的圆心O在直角坐标系的原点，两条互相垂直的弦AC和BD相交于点M（1，2），则四边形ABCD的面积的最大值与最小值的差是．

Question

半径为2的圆的圆心O在直角坐标系的原点，两条互相垂直的弦AC和BD相交于点M（1， √(2)），则四边形ABCD的面积的最大值与最小值的差是___．

Answer 1

∵M（1，√(2)），
∴OM=√(3)，
①如图1，当AC、BD相等，且OM平分两弦的相交的角时，这时O到弦的距离为：OM×sin45=(√(6))/(2)，
由勾股定理及垂径定理知弦长为：√(10)，
∴S=(1)/(2)×√(10)×√(10)=5；
②当弦BD经过圆心O，此时四边形ABCD的面积最小，如图2，
∵M（1，√(2)），
∴OM=√(3)，MC=1，
根据垂径定理，AC=2MC=2，
∴BD=4，
∴四边形ABCD面积最大值与最小值的差5-4=1．
故答案为：1．