如图1，△ABC的边BC的中垂线DM交∠BAC的平分线AD于D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于F．连接DB、DC．（1）求证：△DBE≌△DFC．（2）求证：AB+AC=2AE；（3）如图2，若△ABC的边BC的中垂线DM交∠BAC的外角平分

Question

如图1，△ABC的边BC的中垂线DM交∠BAC的平分线AD于D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于F．连接DB、DC．
（1）求证：△DBE≌△DFC．
（2）求证：AB+AC=2AE；
（3）如图2，若△ABC的边BC的中垂线DM交∠BAC的外角平分线AD于D，DE⊥AB于点E，且AB>AC，写出AE、BE、AC之间的等量关系．（不需证明，只需在图2中作出辅助线、说明证哪两个三角形全等即可）．

Answer 1

（1）证明：∵DM垂直平分BC，
∴DB=DC，
∵∠1=∠2，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
在Rt△DEB与Rt△DFC中，

DB=DC

DE=DF

，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC；

（2）∵∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△ADE≌Rt△ADF中，

DE=DF

AD=AD

，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE=AF，
又∵Rt△DEB≌Rt△DFC，
∴BE=CF，
∴AB+AC=AE+BE+AF-CF=2AE；

（3）BE=AE+AC．
证明：如图2，过D作DN⊥AC，垂足为N，连接DB、DC，
则DN=DE，DB=DC，
又∵DE⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DEB=∠DNC=90°，
在Rt△DBE和Rt△DCN中，

DB=DC

DF=DN

，
∴Rt△DBE≌Rt△DCN（HL）
∴BE=CN，
在Rt△DEA和Rt△DNA中，

AD=AD

DF=DN

，
∴Rt△DEA≌Rt△DNA（HL），
∴AN=AE，
∴BE=AC+AN=AC+AE，
即BE=AE+AC．