方程abc=2（a+b+c）的正整数解共有（）组.A.3B.6C.12D.15

Question

方程abc=2（a+b+c）的正整数解共有（　　）组.
A. 3
B. 6
C. 12
D. 15

Answer 1

不妨设a≤b≤c，则有 abc=2（a+b+c）≤2（c+c+c）=6c
所以有：1≤ab≤6，ab=1，即a=b=1，显然无解，
ab=2即a=1，b=2，显然无解，
ab=3即a=1，b=3，3c=2（4+c），c=8，（1 3 8）
ab=4=1×4=2×2，a=1，b=4，c=5，（1 4 5）
a=2，b=2，c=4，（ 2 2 4）
ab=5，a=1，b=5，c=4舍去（a≤b≤c）
ab=6=1×6=2×3，c无正整数解，
因为abc等价（145）145，154，415，451，541，514，6对；
（138）138，183，381，318，813，831，6对；
（224）224 242 422，3对，
故 6+6+3=15组．
故选：D．