过点（0，1）作曲线L：y=lnx的切线，切点为A．又L与x轴交于B点，区城D由L、x轴与直线AB围成，求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．

Question

过点（0，1）作曲线L：y=lnx的切线，切点为A．又L与x轴交于B点，区城D由L、x轴与直线AB围成，求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．

Answer 1

设切线方程为y=kx+1，切点坐标为（a，b），
则

k=(1)/(a)

ka+1=b

lna=b

，解得a=e²，b=2，∴A（e²，2）．
将y=0代入y=lnx得x=1，∴B（1，0）．
∴直线AB的方程为(y)/(2)=(x-1)/(e2-1)，即y=(2x)/(e2-1)-(2)/(e2-1)．
∴区域D的面积为

∫

e2 1

lnxdx-

∫

e2 1

（(2x)/(e2-1)-(2)/(e2-1)）dx=（xlnx-x）

|

e2 1

-（(x2-2x)/(e2-1)）

|

e2 1

=2．
区域D绕x轴旋转一周所得几何体体积为π•

∫

e2 1

(lnx)2dx-(1)/(3)×π×22×(e2-1)=π•x[（lnx）²-2lnx+2]|

e2

1

-(4π(e2-1))/(3)=（2e²-2）•π-(4π(e2-1))/(3)=(2π(e2-1))/(3)

作业帮用户 2018-01-28