求密度为μ的均匀柱体x2+y2≤1，0≤z≤1，对位于点M（0，0，2）的单位质点的引力．

Question

求密度为μ的均匀柱体x²+y²≤1，0≤z≤1，对位于点M（0，0，2）的单位质点的引力．

Answer 1

由柱体的对称性以及点M的坐标可得，柱体对于质点M的引力方向与z轴平行，
不妨设引力为（0，0，F_z）．
因为质点（x，y，z）与单位质点M之间的引力为
DF_z=(μdv)/(x2+y2+(z−2)2)，
从而，
F_z=

∫

1 0

dz

∬

x2+y2≤1

(μ)/(x2+y2+(z−1)2)dxdy
=μ

∫

1 0

dz

∫

2π 0

dθ

∫

1 0

(r)/(r2+(z−2)2)dr
=μ

∫

1 0

−(2π)/(r2+(z−2)2)

|

1 0

dz
=2πμ

∫

1 0

(−(1)/(1+(z−2)2)+(1)/((z−2)2))dz
=2πμ(−arctan(z−2)−(1)/(z−2))

|

1 0

=2πμ(arctan2−(π)/(4)+(1)/(2))．
故柱体对质点M的引力为：(0，0，arctan2−(π)/(4)+(1)/(2))．