已知四面体ABCD的棱长都相等，E、F、G、H分别为AB、AC、AD以及BC的中点，求证：面EHG⊥面FHG．

Question

已知四面体ABCD的棱长都相等，E、F、G、H分别为AB、AC、AD以及BC的中点，求证：面EHG⊥面FHG．

Answer 1

证明：四面体ABCD的棱长都相等，E、F、G、H分别为AB、AC、AD以及BC的中点，
设棱长AB=4
在直角△AGH中，利用勾股定理可得：GH=2√(2)
在△EHG中，EH=EG=2，所以根据勾股定理的逆定理得：△EGH是直角三角形
取GH中点K，连EK，可得EK=√(2)
同理可得FK=√(2)
在△EKF中，EF=2，EK=√(2)，FK=√(2)
所以△EKF是直角三角形，即EK⊥FK，
又EK⊥GH，FK⊥GH，
EK⊥平面FGH
EK在平面EGH内
则面EHG⊥面FHG