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已知四面体ABCD的棱长都相等,E、F、G、H分别为AB、AC、AD以及BC的中点,求证:面EHG⊥面FHG.
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已知四面体ABCD的棱长都相等,E、F、G、H分别为AB、AC、AD以及BC的中点,求证:面EHG⊥面FHG.
▼优质解答
答案和解析
证明:四面体ABCD的棱长都相等,E、F、G、H分别为AB、AC、AD以及BC的中点,
设棱长AB=4
在直角△AGH中,利用勾股定理可得:GH=2
在△EHG中,EH=EG=2,所以根据勾股定理的逆定理得:△EGH是直角三角形
取GH中点K,连EK,可得EK=
同理可得FK=
在△EKF中,EF=2,EK=
,FK=
所以△EKF是直角三角形,即EK⊥FK,
又EK⊥GH,FK⊥GH,
EK⊥平面FGH
EK在平面EGH内
则面EHG⊥面FHG
设棱长AB=4
在直角△AGH中,利用勾股定理可得:GH=2
2 |
在△EHG中,EH=EG=2,所以根据勾股定理的逆定理得:△EGH是直角三角形
取GH中点K,连EK,可得EK=
2 |
同理可得FK=
2 |
在△EKF中,EF=2,EK=
2 |
2 |
所以△EKF是直角三角形,即EK⊥FK,
又EK⊥GH,FK⊥GH,
EK⊥平面FGH
EK在平面EGH内
则面EHG⊥面FHG
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d50735fae6cd7b8977e8f7320c2442a7d8330eff.jpg)
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