已知复数z1，z2满足|z1|≤1，-1≤Rez2≤1，-1≤Imz2≤1，若z=z1+z2，则z在复平面上对应的点组成的图形的面积为．

Question

已知复数z₁，z₂满足|z₁|≤1，-1≤Rez₂≤1，-1≤Imz₂≤1，若z=z₁+z₂，则z在复平面上对应的点组成的图形的面积为___．

Answer 1

∵复数z₁，z₂满足|z₁|≤1，-1≤Rez₂≤1，-1≤Imz₂≤1，
则可设z₁=cosθ+isinθ，z₂=a+bi（-1≤a≤1，-1≤b≤1），
由z=z₁+z₂，得z=（a+cosθ）+（b+sinθ）i，
设z=x+yi，则

x=a+cosθ

y=b+sinθ

，
∴（x-a）²+（y-b）²=1．
当a，b变化时，z点的轨迹如图：

则z在复平面上对应的点组成的图形的面积为：
图中内部边长为2的正方形面积+四个长为2宽为1的长方形面积+四个四分之一圆的面积．
等于22+4×2×1+4×(1)/(4)π=12+π．
故答案为：12+π．