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如图①,两个全等的等腰直角△ABC和△EDC中,∠ACB=∠ECD=90°,点A与点E重合,点D与点B重合.现△ABC不动,把△EDC绕点C按顺时针方向旋转,旋转角为α(0°<α<90°).(1)如图②,AB与CE交
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如图①,两个全等的等腰直角△ABC和△EDC中,∠ACB=∠ECD=90°,点A与点E重合,点D与点B重合.现△ABC不动,把△EDC绕点C按顺时针方向旋转,旋转角为α(0°<α<90°).![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/314e251f95cad1c8e71ebf937c3e6709c83d51d8.jpg)
(1)如图②,AB与CE交于F,ED与AB、BC分别交于M、H.求证:CF=CH;
(2)如图③,当α=45°时,试判断四边形ACDM是什么四边形,并说明理由;
(3)如图②,在△EDC绕点C旋转的过程中,连接BD,当旋转角α的度数为______时,△BDH是等腰三角形.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/314e251f95cad1c8e71ebf937c3e6709c83d51d8.jpg)
(1)如图②,AB与CE交于F,ED与AB、BC分别交于M、H.求证:CF=CH;
(2)如图③,当α=45°时,试判断四边形ACDM是什么四边形,并说明理由;
(3)如图②,在△EDC绕点C旋转的过程中,连接BD,当旋转角α的度数为______时,△BDH是等腰三角形.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵△ABC和△EDC是全等的等腰直角三角形,
∴∠A=∠B=∠E=∠D=45°,CA=CB=CE=CD,
∵△ABC不动,把△EDC绕点C按顺时针方向旋转,旋转角为α,![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a08b87d6277f9e2f2d56c2b91c30e924b899f324.jpg)
∴CA=CD,∠A=∠D,∠ACE=∠BCD=α,
在△CAF和△CDH中
,
∴△CAF≌△CDH,
∴CF=CH;
(2)四边形ACDM是菱形.理由如下:
∵∠ACE=∠BCD=45°,
而∠A=45°,
∴∠AFC=90°,
而∠FCD=90°,
∴AB∥CD,
同理可得AC∥DE,
∴四边形ACDM是平行四边形,
而CA=CD,
∴四边形ACDM是菱形;
(3)∵CB=CD,∠BCD=α,
∴∠CBD=∠CDB=
(180°-α),
∴∠HBD>∠BDH,
∴当DB=DH或BH=BD时,△BDH是等腰三角形,
∵∠BHD=∠HCD+∠HDC=α+45°,
当DB=DH,则∠HBD=∠BHD,即
(180°-α)=α+45°,解得α=30°;
当BH=BD,则∠BHD=∠BDH,即α+45°=
(180°-α)-45°,解得α=0(舍去),
∴α=30°,
即当旋转角α的度数为30°时,△BDH是等腰三角形.
故答案为30°.
∴∠A=∠B=∠E=∠D=45°,CA=CB=CE=CD,
∵△ABC不动,把△EDC绕点C按顺时针方向旋转,旋转角为α,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a08b87d6277f9e2f2d56c2b91c30e924b899f324.jpg)
∴CA=CD,∠A=∠D,∠ACE=∠BCD=α,
在△CAF和△CDH中
|
∴△CAF≌△CDH,
∴CF=CH;
(2)四边形ACDM是菱形.理由如下:
∵∠ACE=∠BCD=45°,
而∠A=45°,
∴∠AFC=90°,
而∠FCD=90°,
∴AB∥CD,
同理可得AC∥DE,
∴四边形ACDM是平行四边形,
而CA=CD,
∴四边形ACDM是菱形;
(3)∵CB=CD,∠BCD=α,
∴∠CBD=∠CDB=
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∴∠HBD>∠BDH,
∴当DB=DH或BH=BD时,△BDH是等腰三角形,
∵∠BHD=∠HCD+∠HDC=α+45°,
当DB=DH,则∠HBD=∠BHD,即
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当BH=BD,则∠BHD=∠BDH,即α+45°=
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∴α=30°,
即当旋转角α的度数为30°时,△BDH是等腰三角形.
故答案为30°.
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