线性表示的求法当α1,α2,...,αs线性无关,β可由α1,α2,...,αs线性表示,对矩阵（α1,α2,...,αs|β）做初等行变换,当α1,α2,...,αs化为标准型,则β化为线性表示的系数.提问：β为什么就是系数了

Question

线性表示的求法
当α1,α2,...,α s线性无关,β可由α1,α2,...,α s线性表示,对矩阵（α1,α2,...,α s | β）做初等行变换,当α1,α2,...,α s化为标准型,则β化为线性表示的系数.
提问：β为什么就是系数了呢?

Answer 1

这样说并不是很严格
定理依据: 初等行变换不改变矩阵列之间的线性关系
如果 (a1,...,as, b) 经初等行变换化为行最简形, 如:
1 0 0 2 3
0 1 0 1 4
0 0 1 2 5
0 0 0 0 0
那么这个矩阵的列之间 的线性关系 与 原矩阵的相同
即有 a4 = 2a1+a2+2a3, b = 3a1+4a2+5a3