某县位于沙漠边缘地带，人与自然长期进行顽强的斗争，到1999年底全县的绿化率已达到30%，从1999年开始，每年将出现这样的局面：原有沙漠面积的16%被栽上树，改造成绿洲，而同

Question

某县位于沙漠边缘地带，人与自然长期进行顽强的斗争，到1999年底全县的绿化率已达到30%，从1999年开始，每年将出现这样的局面：原有沙漠面积的16%被栽上树，改造成绿洲，而同时原有绿洲面积的4%又被侵蚀，变为沙漠.

(1)设全县面积为1 1999年底绿洲面积a ₁ = 经过一年(指2000年底)绿洲面积为a ₂ 经过n年绿洲面积为a _n+1 求证：a _n+1 = a _n + ；

(2)问至少经过多少年的努力才能使全县绿洲面积超过60%？

Answer 1

约经过6年的努力，绿洲面积可超过60%.

解析:

(1)设1999年底沙漠面积为b ₁ 经过n年沙漠面积为b _n+1 则a ₁ +b ₁ =1且a _n +b _n =1.

因为绿洲面积a _n+1 由两部分组成，一部分是原有绿洲面积a _n 减去被侵蚀掉的面积a _n - a _n = a _n ;另一部分是新绿洲面积 b _n

∴a _n+1 = a _n + b _n = a _n + (1-a _n )

即a _n+1 = a _n + .

(2)∵a _n+1 - = (a _n - )

∴{a _n - }是公比为 的等比数列.

∴a _n - =(a ₁ - )×( ) ^n-1 =- ×( ) ^n-1 .

∴a _n = - ×( ) ^n-1 .

令a _n ≤60%＜a _n+1 ，即 - ×( ) ^n-1 ≤ ＜ - ×( ) ⁿ

得( ) ⁿ ＜ ≤( ) ^n-1

两边取对数得nlg ＜lg ≤(n-1)·lg

则 ＜n≤ +1 = ≈4.1.

∴4.1＜n≤5.1.