矩形土地ABCD,CD中点P,AB中垂线上一点O使AO+BO+PO最短,则角ABO为几度

Question

矩形土地ABCD,CD中点P,AB中垂线上一点O使AO+BO+PO最短,则角ABO为几度

Answer 1

因为是矩形,那么AB中垂线过P点.
考虑等腰三角形ABP,题目可以化为求AB中垂线上一点O使得到ABP三顶点和最小.
显然,O点应该在三角形内部.
设O点到AB的距离为d.那么OP为k-d.（k是BC长度.就是P到AB的距离.）
设ABO = a.可以得到tan(a) = d/m.（2m是AB长度.）
那么AO = BO = d / sin(a) = m *tan(a) / sin(a) = m / cos(a).
OP = k - m*tan(a)
AO+BO+OP = 2m / cos(a) + k - m*tan(a).
求这个最小值可以用求导或者三角函数简化（二倍角公式）.
这里太长就不写了.如果没算错的话结果应该是和P点重合的时候最小.
楼主要是想知道那个具体过程的话可以私戳我.