如图所示，半径R=1.0m的光滑圆弧轨道固定在竖直平面内，轨道的一个端点B和圆心O的连线与水平方向间的夹角θ=37°，另一端点C为轨道的最低点，其切线水平．C点右侧的光滑水平面上紧挨C点

Question

如图所示，半径R=1.0m的光滑圆弧轨道固定在竖直平面内，轨道的一个端点B和圆心O的连线与水平方向间的夹角θ=37°，另一端点C为轨道的最低点，其切线水平．C点右侧的光滑水平面上紧挨C点静止放置一木板，木板质量M=3kg，上表面与C点等高．质量为m=1kg的物块（可视为质点）从空中A点以v₀=2.4m/s的速度水平抛出，恰好从轨道的B端沿切线方向进入轨道．已知物块与木板间的动摩擦因数μ=0.4，取g=10m/s²，sin37°=0.6．求：

（1）物体到达B点时的速度大小v_B；
（2）物块经过C点时对轨道的压力；
（3）木板长度满足什么条件，才能使物块不滑离木板．

Answer 1

（1）设物体经过B点的速度为v_B，则由平抛运动的规律可得：
v_Bsin37°=v₀
解得：v_B=4m/s
（2）设物体经过C点的速度为v_C，由机械能守恒得：
(1)/(2)mv_B²+mg（R+Rsin37°）=(1)/(2)mv_C²
解得：v_C=4√(3)m/s；
根据牛顿第二定律得
F_N-mg=m(v2C)/(R)
解得：F_N=58N，
由牛顿第三定律可求得物块经过C点时对轨道的压力大小是58N，方向竖直向下．
（3）物块在木板上滑动时，设物块和木板的加速度大小分别为a₁、a₂，
则：μ₁mg=ma₁
μ₁mg-μ₂（M+m）g=Ma₂
解得：a₁=4m/s²，a₂=(4)/(3)m/s²，
设物块和木板经过时间t达到共同速度V，其位移分别为X₁、X₂，则：
对物块：V=V_C-a₁t
对木板：V=a₂t
设木板长度至少为L
时间t内物块的位移：X₁=(vC+v)/(2)t
时间t内木板的位移：X₂=(vt)/(2)
由题意得：L≥X₁-X₂=4.5m
即木板长度至少4.5m才能使物块不从木板上滑下．
答：（1）物体到达B点时的速度大小是4m/s；
（2）物块经过C点时对轨道的压力大小是58N，方向竖直向下；
（3）木板长度至少4.5m才能使物块不滑离木板．