三个不相同的自然数和是85,其中任意两个数的和都是平方数,三个数各是多少?

Question

三个不相同的自然数和是85,其中任意两个数的和都是平方数,三个数各是多少?

Answer 1

答：这三个数是4,21,60
解法：
设这三个数分别为a b c
则a+b+c=85
设三个完全平方数为m n k
则有：a+b=m²
b+c=n²
a+c=k²
三式相加得2（a+b+c）=m²+n²+k²
即 m²+n²+k²=2（a+b+c）=2*85=170
经过观察满足三个平方数的和为170的只有 25,64,81三个数
即 a+b=m²=25
b+c=n²=64
a+c=k²=81
因此a=（a+b+c）-（b+c）=85-64=21
b=（a+b+c）-（a+c）=85-81=4
c=（a+b+c）-（a+b）=85-25=60
因此这三个数是4,21,60