定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．（1）如图1，损矩形ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，则该损矩形的直径是线段．（2）在线

Question

定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．
（1）如图1，损矩形ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，则该损矩形的直径是线段______．
（2）在线段AC上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并说明你的理由．友情提醒：“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．
（3）如图2，△ABC中，∠ABC=90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF的中心，连接BD，当BD平分∠ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由．若此时AB=3，BD=4√(2)，求BC的长．

Answer 1

（1）只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．因此AC是该损矩形的直径；

（2）作图如图：

∵点P为AC中点，
∴PA=PC=(1)/(2)AC．
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴BP=DP=(1)/(2)AC，
∴PA=PB=PC=PD，
∴点A、B、C、D在以P为圆心，(1)/(2)AC为半径的同一个圆上；

（3）∵菱形ACEF，
∴∠ADC=90°，AE=2AD，CF=2CD，
∴四边形ABCD为损矩形，
∴由（2）可知，点A、B、C、D在同一个圆上．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=45°，
∴

AD

＝

CD

，
∴AD=CD，
∴四边形ACEF为正方形．
∵BD平分∠ABC，BD=4√(2)，
∴点D到AB、BC的距离h为4，
∴S_△ABD=(1)/(2)AB×h=2AB=6，
S_△ABC=(1)/(2)AB×BC=(3)/(2)BC，
S_△BDC=(1)/(2)BC×h=2BC，S_△ACD=(1)/(4)S_{正方形ACEF}=(1)/(4)AC²=(1)/(4)（BC²+9），
∵S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ADC=S_△ABD+S_△BCD
∴(3)/(2)BC+(1)/(4)（BC²+9）=6+2BC
∴BC=5或BC=-3（舍去），
∴BC=5．