已知函数f(x)=(x^2+ax)e^x(x属于R)在x=√2时有极值(1)求f(x)的解析式(2)求y=f(x)单调区间及最小值

Question

已知函数f(x)=(x^2+ax)e^x(x属于R)在x=√2时有极值
(1)求f(x)的解析式
(2)求y=f(x)单调区间及最小值

Answer 1

f'(x)=(2x+a)e^x+(x^2+ax)e^x=(x^2+(a+2)x+a)e^x
在x=√2时有极值
则x=√2,(x^2+(a+2)x+a)e^x=0
则
2+(a+2)√2+a=0
解得a=-2
f(x)=(x^2-2x)e^x
(2)求y=f(x)单调区间
f'(x)=(x^2-2)e^x
当x>√2,f'(x)>0,函数单增
当-√20,函数单增
f''(x)=(x^2+2x-2)e^x
x=-√2,f''(√2)=2√2e^√2>0
函数取得最小值.
f(√2)=(2-2√2)e^（√2）