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如何证明线性空间V不能被其有限个真子空间覆盖
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如何证明线性空间V不能被其有限个真子空间覆盖
▼优质解答
答案和解析
《可数个子空间的并的几个结论》
搜索这个名字的论文,如果不能下载,告诉我你的邮箱,我发给你
我发觉这个论文里写的不清楚,我重新写个证明
首先,一个直观的考虑是,有限条直线无法组成平面,但是无限条直线就可以.
用数归法
假设v能被其子空间v1和v2覆盖,则先取a属于v1,不属于v2,再取b属于v2,不属于v1
由于a和b都属于v,v是线性的,所以a+b属于v
又由于v1和v2的并集能覆盖v,所以a+b属于v1并v2
可以推出a+b属于v1或v2
但是a+b如果属于v1,b应该属于v1,所以不行（v1是真子空间,在上面加法封闭）
同理,a+b不属于v2,推出矛盾
现在假设v不能被s个子空间的并覆盖,但能被s+1个子空间并覆盖
将s个子空间的并定义为一个大集合M,将第s+1个子空间看做前面所讲的v1,M看做前面所讲的v2,就能推出矛盾.
但是M是集合,v2是空间,是否有问题?考虑到v1并v2已经是集合的概念了,集合比的就是元素的个数,就是考虑空间中向量的个数.每一个真子空间也都是线性的,对加法和数乘封闭.原题的意思就是一个大的空间中有很多向量,每一个向量都属于大空间的一个真子空间,而这些真子空间的个数是不可数的.所以M虽然是集合,但是如果取b属于M（第二步中定义成v2）,不属于第s+1的子空间,的意思就是b属于M中那s个子空间中的一个,所以之后的推导还是成立.
搜索这个名字的论文,如果不能下载,告诉我你的邮箱,我发给你
我发觉这个论文里写的不清楚,我重新写个证明
首先,一个直观的考虑是,有限条直线无法组成平面,但是无限条直线就可以.
用数归法
假设v能被其子空间v1和v2覆盖,则先取a属于v1,不属于v2,再取b属于v2,不属于v1
由于a和b都属于v,v是线性的,所以a+b属于v
又由于v1和v2的并集能覆盖v,所以a+b属于v1并v2
可以推出a+b属于v1或v2
但是a+b如果属于v1,b应该属于v1,所以不行（v1是真子空间,在上面加法封闭）
同理,a+b不属于v2,推出矛盾
现在假设v不能被s个子空间的并覆盖,但能被s+1个子空间并覆盖
将s个子空间的并定义为一个大集合M,将第s+1个子空间看做前面所讲的v1,M看做前面所讲的v2,就能推出矛盾.
但是M是集合,v2是空间,是否有问题?考虑到v1并v2已经是集合的概念了,集合比的就是元素的个数,就是考虑空间中向量的个数.每一个真子空间也都是线性的,对加法和数乘封闭.原题的意思就是一个大的空间中有很多向量,每一个向量都属于大空间的一个真子空间,而这些真子空间的个数是不可数的.所以M虽然是集合,但是如果取b属于M（第二步中定义成v2）,不属于第s+1的子空间,的意思就是b属于M中那s个子空间中的一个,所以之后的推导还是成立.
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