如图所示，光滑矩形斜面ABCD的倾角为θ=30°，在其上放置一矩形金属线框abcd，ab的边长L1=1m，bc的边长L2=0.6m，线框的质量m=1kg，电阻R=0.1Ω，线框通过细线绕过定滑轮与重物相连，细线与斜面平

Question

如图所示，光滑矩形斜面ABCD的倾角为θ=30°，在其上放置一矩形金属线框abcd，ab的边长L₁=1m，bc的边长L₂=0.6m，线框的质量m=1kg，电阻R=0.1Ω，线框通过细线绕过定滑轮与重物相连，细线与斜面平行且靠近．重物质量M=2kg，离地面的高度为H=4.8m．斜面上efgh区域是有界匀强磁场，方向垂直于斜面向上，已知AB到ef的距离为s₁=4.2m，ef到gh的距离为s₂=0.6m，gh到CD的距离为s₃=3.8m，取g=10m/s²．现让线框从静止开始运动（开始时刻cd与AB边重合），发现线框匀速穿过匀强磁场区域，求：

（1）efgh区域内匀强磁场的磁感应强度B
（2）线框在通过磁场区域过程中产生的焦耳热Q
（3）通过计算分析画出线框从开始运动到ab边与CD边重合过程中线框的v-t图象．

Answer 1

（1）ab在磁场中运动所受安培力，F=BIL₁=(B2L21v0)/(R)
根据受力平衡，则有：Mg=F+mgsinθ                  
解得：B=0.5T    
（2）由能量守恒：Q=2Mg•S₂-2mg•S₂•sinθ=18J                        
（3）如图所示，线框abcd由静止沿斜面向上运动到ab与ef线重合的过程中，线框和重物在恒力作用下以共同的加速度做匀加速运动．
设ab恰好要进入磁场时的速度为v₀，对线框和重物的整体在这一过程运用动能定理：Mgs₁-mgs₁sinθ=(1)/(2)（M+m）v

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0

解得：v₀=√((2gs1(M−msinθ))/(M+m))=√((2×10×(4.2−0.6)(2−0.5))/(3))=6m/s 
该过程的时间为：t₁=(s1)/(.v1)＝(4.2−0.6)/((6)/(2))=1.2s
ab边刚进入磁场时由于切割磁感线而产生电流，所以线框受到沿斜面向下的安培力作用：F_A=BIL₁；
故此时，F_合=Mg-mgsinθ-F_A=20-10×0.5-(0．52×12×6)/(0.1)=0
故线框进入磁场后，做匀速直线运动，直到cd边离开gh的瞬间为止．t₂=(2L2)/(v0)=(1.2)/(6)s=0.2s                                         
此时M刚好着地，细绳松弛，线框继续向上做减速运动，设线框的cd边到达CD线
的速度为v₁，则对线框有：-mgs2sinθ=(1)/(2)mv₁²-(1)/(2)mv₀²；
得v₁=√(v20−2gs2sinθ)=2m/s
  t₃=(s2)/((v0+v1)/(2))=(3.2)/((6+2)/(2))s=0.8s 
则线框的速度--时间图象如右图
答：
（1）efgh区域内匀强磁场的磁感应强度0.5T；
（2）线框在通过磁场区域过程中产生的焦耳热18J；
（3）通过计算分析画出线框从开始运动到ab边与CD边重合过程中线框的v-t图象，如上图所示．