某校组织了20次天文观测活动，每次有5名学生参加，任何2名学生都至多同时参加过一次观测．证明：参加过这些观测活动的学生数不少于21名．

Question

某校组织了20次天文观测活动，每次有5名学生参加，任何2名学生都至多同时参加过一次观测．
证明：参加过这些观测活动的学生数不少于21名．

Answer 1

证明：设参加观测活动次数最多的学生A参加了a次观测，共有x名学生参加过这些观测活动．
由于有A参加的每次观测活动中，除了A，其他学生各不相同（这是因为任何2名学生都至多同时参加过一次观测），
故x≥4a+1．①
另一方面，学生A参加观测的次数不小于每名学生平均观测次数．
即a≥ (20×5)/(x) ．②
综合①、②，得x≥ (400)/(x) +1 ，x ² -x-400≥0．即x（x-1）≥400．
因x（x-1）是相邻两个自然数的乘积，经试算可得x≥21．
即参加过这些观测活动的学生数不少于21人．