第二性曲线积分一题.已知曲线积分∮cxdy-ydx/(f(x)+y2）=A（常数）,其中f(x)为连续可微函数,且f(1)=1,c是绕原点一周的任意正向逐段光滑闭曲线.（1）证明：在任一不包含原点的单连通域内,

Question

第二性曲线积分一题.
已知曲线积分∮c【xdy-ydx】/(f(x) +y2）=A（常数）,其中f(x)为连续可微函数,且f(1)=1,c是绕原点一周的任意正向逐段光滑闭曲线.
（1）证明：在任一不包含原点的单连通域内,曲线积分∮c【xdy-ydx】/(f(x) +y2）与路径无关；
（2）求f(x)和A.

Answer 1

我只说第一问,第二问完全可以用格林公式计算的,另外还要考虑f(1)=1的条件来取任意实数c……第一问完全可以这样证明的,选取两个曲线,都是环绕原点的曲线,现在将两个曲线之间的区域画上两个线,将两个曲线连在一起,则两个环形曲线中所夹的曲线和部分环形曲线可以组成新的不含原点的闭区域,这样你的证明方法就是这个闭区域的边界曲线的积分为零,你可以分别选取两个环形曲线中所夹的曲线和部分环形曲线组成新的环绕原点的曲线,这样可以得到两个方程,然后确定正方向后可以进行叠加,然后得出新组成的封闭曲线积分为零的结论