质量为m的带电小球，从固定在地面上的半径为R的光滑半圆轨道顶处由静止开始沿逆时针方向滑下．（1）若整个装置处于磁感强度为B、方向垂直轨道平面向里的匀强磁场中，如图所示，

Question

质量为m的带电小球，从固定在地面上的半径为R的光滑半圆轨道顶处由静止开始沿逆时针方向滑下．
（1）若整个装置处于磁感强度为B、方向垂直轨道平面向里的匀强磁场中，如图所示，且小球始终未离开轨道表面，小球应带何种电荷？电量至少多少？
（2）如果去掉磁场，而其它条件不变，小球会在什么地方离开轨道？

Answer 1

（1）小球沿半球表面滑下至最低点的过程受重力、支持力，洛仑兹力这三个力的作用，但只有重力做功，机械能守恒，则有  
  mgR= (1)/(2) mv ²
设小球下滑至最低点时的速度为v，则：v=

2gR

  ①
在最低点有：QvB-N=m (v2)/(R)
由①知小球在最低点的速度v是一定的，要使Q最小，则必须N=0，设此时的油滴电量为Q ₀ ，即 Q ₀ vB=m (v2)/(R)   ②
联解①、②得带电量至少为 Q ₀ = (m2gR)/(BR) ，
由左手定则判断知：小球带正电．
（2）设小球在与过圆心的竖直半径成θ角处离开球面，此刻速度为v ₁
则在此处有：mgcosθ-N=m (v21)/(R)   ①
小球在离开球面处有  N=0  ②
又据机械能守恒定律：mgR（1-cosθ）= (1)/(2) m

v

21

  ③
联解①②③得：cosθ= (2)/(3)
即：θ=arccos (2)/(3)          
当小球滑至与球心连线与竖直方向成cos ^-1 (2)/(3) 角的位置时离开轨道．
答：
（1）小球带正电，电量至少 (m2gR)/(BR) ，
（2）如果去掉磁场，而其它条件不变，当小球滑至与球心连线与竖直方向成cos ^-1 (2)/(3) 角的位置时离开轨道．