如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点，AA1＝AB＝1．(Ⅰ)求二面角B－AB1－D的大小；(Ⅱ)求点C到平面AB1D的距离

Question

如图，正三棱柱 ABC － A ₁ B ₁ C ₁ 中， D 是 BC 的中点， AA ₁ ＝ AB ＝1．

(Ⅰ)求二面角 B － AB ₁ － D 的大小；

(Ⅱ)求点 C 到平面 AB ₁ D 的距离

Answer 1

答案：
解析：
　　解法一(Ⅰ)在面ABC内作DF⊥AB于点F，在面A1ABB1内作FG⊥AB1于点G，连接DG． 　　∵平面A1ABB1⊥平面ABC，∴DF⊥平面A1ABB1， 　　∴FG是DG在平面A1ABB1上的射影，∵FG⊥AB1，∴DG⊥AB1 　　∴∠FGD是二面角B－AB1－D的平面角设A1A＝AB＝1，在正△ABC中，DF＝ 　　在△AFG中，， 　　在Rt△DFG中，， 　　所以，二面角B－AB1－D的大小为　　　　6分 　　(Ⅱ)∵平面B1BCC1⊥平面ABC，且AD⊥BC， 　　∴AD⊥平面B1BCC1，又AD平面AB1D，∴平面B1BCC1⊥平面AB1D． 　　在平面B1BCC1内作CH⊥B1D交B1D的延长线于点H， 　　则CH的长度就是点C到平面AB1D的距离． 　　由△CDH∽△B1DB，得 　　即点C到平面AB1D的距离是　　　　12分 　　解法二： 　　建立空间直角坐标系D－xyz，如图， 　　(Ⅰ)证明： 　　连接A1B，设A1B∩AB1＝E，连接DE． 　　设A1A＝AB＝1， 　　则 　　，， 　　设是平面AB1D的法向量，则， 　　故； 　　同理，可求得平面AB1B的法向量是　　　6分 　　设二面角B－AB1－D的大小为θ，， 　　∴二面角B－AB1－D的大小为　　　　　8分 　　(Ⅱ)解由(Ⅱ)得平面AB1D的法向量为， 　　取其单位法向量又 　　∴点C到平面AB1D的距离　　　　12分