如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中点,AA1=AB=1.(Ⅰ)求二面角B-AB1-D的大小;(Ⅱ)求点C到平面AB1D的距离
如图,正三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1 中, D 是 BC 的中点, AA 1 = AB =1.
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(Ⅰ)求二面角 B - AB 1 - D 的大小;
(Ⅱ)求点 C 到平面 AB 1 D 的距离
解析:
解法一(Ⅰ)在面ABC内作DF⊥AB于点F,在面A1ABB1内作FG⊥AB1于点G,连接DG. ∵平面A1ABB1⊥平面ABC,∴DF⊥平面A1ABB1, ∴FG是DG在平面A1ABB1上的射影,∵FG⊥AB1,∴DG⊥AB1 ∴∠FGD是二面角B-AB1-D的平面角设A1A=AB=1,在正△ABC中,DF= 在△AFG中,, 在Rt△DFG中,, 所以,二面角B-AB1-D的大小为 6分 (Ⅱ)∵平面B1BCC1⊥平面ABC,且AD⊥BC, ∴AD⊥平面B1BCC1,又AD平面AB1D,∴平面B1BCC1⊥平面AB1D. 在平面B1BCC1内作CH⊥B1D交B1D的延长线于点H, 则CH的长度就是点C到平面AB1D的距离. 由△CDH∽△B1DB,得 即点C到平面AB1D的距离是 12分 解法二: 建立空间直角坐标系D-xyz,如图, (Ⅰ)证明: 连接A1B,设A1B∩AB1=E,连接DE. 设A1A=AB=1, 则 ,, 设是平面AB1D的法向量,则, 故; 同理,可求得平面AB1B的法向量是 6分 设二面角B-AB1-D的大小为θ,, ∴二面角B-AB1-D的大小为 8分 (Ⅱ)解由(Ⅱ)得平面AB1D的法向量为, 取其单位法向量又 ∴点C到平面AB1D的距离 12分
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