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(2011•昆明)如图,已知AB是⊙O的直径,点E在⊙O上,过点E的直线EF与AB的延长线交于点F,AC⊥EF,垂足为C,AE平分∠FAC.(1)求证:CF是⊙O的切线;(2)∠F=30°时,求S△OFES四边形AOEC的值
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(2011•昆明)如图,已知AB是⊙O的直径,点E在⊙O上,过点E的直线EF与AB的延长线交于点F,AC⊥EF,垂足为C,AE平分∠FAC.
(1)求证:CF是⊙O的切线;
(2)∠F=30°时,求
的值.
(1)求证:CF是⊙O的切线;
(2)∠F=30°时,求
S△OFE |
S四边形AOEC |
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:连接OE,
∵AE平分∠FAC,
∴∠CAE=∠OAE,
又∵OA=OE,∠OEA=∠OAE,∠CAE=∠OEA,
∴OE∥AC,
∴∠OEF=∠ACF,
又∵AC⊥EF,
∴∠OEF=∠ACF=90°,
∴OE⊥CF,
又∵点E在⊙O上,
∴CF是⊙O的切线;
(2)∵∠OEF=90°,∠F=30°,
∴OF=2OE
又OA=OE,
∴AF=3OE,
又∵OE∥AC,
∴△OFE∽△AFC,
∴
=
=
,
∴
=
,
∴
=
.
∵AE平分∠FAC,
∴∠CAE=∠OAE,
又∵OA=OE,∠OEA=∠OAE,∠CAE=∠OEA,
∴OE∥AC,
∴∠OEF=∠ACF,
又∵AC⊥EF,
∴∠OEF=∠ACF=90°,
∴OE⊥CF,
又∵点E在⊙O上,
∴CF是⊙O的切线;
(2)∵∠OEF=90°,∠F=30°,
∴OF=2OE
又OA=OE,
∴AF=3OE,
又∵OE∥AC,
∴△OFE∽△AFC,
∴
OE |
AC |
OF |
AF |
2 |
3 |
∴
S△OFE |
S△AFC |
4 |
9 |
∴
S△OFE |
S四边形AOEC |
4 |
5 |
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