对于数列{An}：A1，A2，A3，…，An，若不改变A1，仅改变A2，A3，…，An中部分项的符号，得到的新数列{an}称为数列{An}的一个生成数列．如仅改变数列1，2，3，4，5的第二、三项的符号可以得到

Question

对于数列{A_n}：A₁，A₂，A₃，…，A_n，若不改变A₁，仅改变A₂，A₃，…，A_n中部分项的符号，得到的新数列{a_n}称为数列{A_n}的一个生成数列．如仅改变数列1，2，3，4，5的第二、三项的符号可以得到一个生成数列1，-2，-3，4，5．已知数列{a_n}为数列{(1)/(2n)}(n∈N*)的生成数列，S_n为数列{a_n}的前n项和．
（1）写出S₃的所有可能值；
（2）若生成数列{a_n}满足：S3n＝(1)/(7)(1−(1)/(8n))，求{a_n}的通项公式；
（3）证明：对于给定的n∈N^*，S_n的所有可能值组成的集合为：{x|x＝(2m−1)/(2n)，m∈N*，m≤2n−1}．

Answer 1

（1）由题意，得a1＝(1)/(2)，|an|＝(1)/(2n)(n∈N*，n≥2)，
∴根据生成数列的定义，可得a2＝±(1)/(4)，a3＝±(1)/(8)．
又∵(1)/(2)+(1)/(4)+(1)/(8)＝(7)/(8)，(1)/(2)+(1)/(4)−(1)/(8)＝(5)/(8)，(1)/(2)−(1)/(4)+(1)/(8)＝(3)/(8)，(1)/(2)−(1)/(4)−(1)/(8)＝(1)/(8)，
∴为(1)/(8)，(3)/(8)，(5)/(8)，(7)/(8)．
（2）∵S3n＝(1)/(7)(1−(1)/(8n))，
当n=1时，a1+a2+a3＝S3＝(1)/(7)(1−(1)/(8))＝(1)/(8)，
当n≥2时，a3n−2+a3n−1+a3n＝S3n−S3n−3＝(1)/(7)(1−(1)/(8n))−(1)/(7)(1−(1)/(8n−1))＝(1)/(作业帮用户2017-09-27问题解析（1）根据生成数列的定义，可知当n=3时，a1＝(1)/(2)，a2、a3分别在±(1)/(4)、±(1)/(8)中取值．由此给出{an}的所有可能的情况，即可算出S3的所有可能值；（2）根据{an}的前3n项和与通项的关系式，可得当n=1时S3＝(1)/(8)，当n≥2时a3n-2+a3n-1+a3n=S3n-S3n-3=(1)/(8n)．由a3n-2、a3n-1、a3n的8种组合加以推断，可得：当且仅当a3n−2＝(4)/(8n)、a3n−1＝−(2)/(8n)且a3n＝−(1)/(8n)时，以上相等关系可以成立．由此即可得到满足条件的{an}的通项公式；（3）利用数学归纳法证明：①当n=1时命题成立；②假设n=k（k∈N*）时，Sk=(2m−1)/(2k)(m∈N*，m≤2k−1)，则当n=k+1时，Sk+1＝Sk±(1)/(2k+1)＝(2k+1Sk±1)/(2k+1)=(2(2m−1)±1)/(2k+1)（m∈N*，m≤2k-1），从而证出Sk+1＝(2m−1)/(2k+1)（m∈N*，m≤2k），即由n=k时命题成立可推出n=k+1时命题也成立．根据以上两点，可以推断出原命题成立．名师点评本题考点：数学归纳法；等差数列与等比数列的综合．考点点评：本题给出数列{An}的生成数列{an}的定义，求S3的可能值并证明Sn的所有可能值组成的集合．着重考查了数列的通项与求和公式、等比数列的通项公式与前n项和公式、利用数学归纳法证明与正整数n有关的命题等知识，属于难题．同时考查了学生的计算能力、逻辑推理能力与分析问题、解决问题的能力，考查了转化化归与分类讨论的数学思想的运用，是一道综合性较强的试题．扫描下载二维码©2018 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)