已知数列{an}中，a1＝12，an+1-an=3−2n2n+1（n∈N*）．（1）求数列{an}中的最大项；（2）求数列{an}的通项公式．

Question

已知数列{a_n}中，a1＝(1)/(2)，a_n+1-a_n=(3−2n)/(2n+1)（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}中的最大项；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

（1）当n=1时，a₂-a₁=(3−2)/(4)＞0．
∴a₂＞a₁，当n≥2时，a_n+1-a_n=(3−2n)/(2n+1)＜0，
∴a_n+1＜a_n．
故当n≥2时，数列{a_n}是递减数列．
综上所述，对一切n∈N^*都有a₂≥a_n．
∴数列{a_n}中最大项为a₂．
（2）由a1＝(1)/(2)，a_n+1-a_n=(3−2n)/(2n+1)（n∈N^*），
当n≥2时，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）++（a_n-1-a_n-2）+（a_n-a_n-1）=(1)/(2)+(3−2×1)/(22)+(3−2×2)/(23)+(3−2×3)/(24)++(3−2×(n−1))/(2n)，①(1)/(2)an＝(1)/(22)+(3−2×1)/(23)+(3−2×2)/(24)+(3−2×3)/(25)++(3−2×(n−2))/(2n)+(3−2×(n−1))/(2n+1)，②
①-②，得(1)/(2)an＝(1)/(2)−(1)/(22)−(1)/(23)−−(1)/(2n−1)−(5−2n)/(2n+1)，
∴an＝1−((1)/(2)+(1)/(22)++(1)/(2n−2))−(5−2n)/(2n)＝(2n−1)/(2n)．
又n=1时，a₁=(1)/(2)适合上式，
∴an＝(2n−1)/(2n)（n∈N^*）．