360可以分解为两个自然数m,n的乘积,m有a个因数,n有b个因数,且a>b,a+b=13,求a-b=?

Question

360可以分解为两个自然数m,n的乘积,m有a个因数,n有b个因数,且a>b,a+b=13,求a-b=?

Answer 1

360＝2^3×3^2×5
由于a、b都是正整数,且a＋b＝13,可见a、b中必有一个是偶数,而另一个是奇数
又具有奇数个因数的数必是完全平方数,因此m、n中必有一个是完全平方数
而360的因数中,是完全平方数的因数只有：2^2、3^2、2^2×3^2
⑴2^2只有3个因数,故n＝2^2＝4,m＝2×3^2×5＝90,易知b＝3,a＝(1＋1)×(2＋1)×(1＋1)＝12,不合题意
⑵3^2也只有3个因数,故n＝3^2＝9,m＝2^3×5＝40,易知b＝3,a＝(3＋1)×(1＋1)＝8,不合题意
⑶2^2×3^2有(2＋1)×(2＋1)＝9个因数,故m＝2^2×3^2＝36,m＝2×5＝10,易知b＝(1＋1)×(1＋1)＝4,a＝9,符合题意,此时有a－b＝5
故a－b＝5